Fiches de révisions lycée

chamou1
Admin honoraire
Messages : 119
Inscription : 05 avr. 2006 18:11

Fiches de révisions lycée

Message par chamou1 »

Voici un espace de documentation pour vos révisions. Elle s'étoffera petit à petit...

Ce sujet est verrouillé car je souhaite qu'il ne contienne que les informations nécessaires.

N'hésitez pas à poser vos questions sur le forum :D
chamou1
Admin honoraire
Messages : 119
Inscription : 05 avr. 2006 18:11

Message par chamou1 »

Fiche révision les Polynomes du second degré :

Comme toutes fonctions polynomes, elles sont définies, continues et dérivables sur R
La courbe associée est une parabole (tournée vers le haut ou le bas)
Son équation est de la forme y=ax^2 +bx +c où a, b et c sont des réels

Résolution de l'équation ax^2 + bx + c = 0
Calcul du delta : d=b^2-4ac

Si d>0 il y a deux solutions x1=(-b+racine(d))/(2a) et x2=(-b-racine(d))/(2a)
Le polynome se factorise ainsi : y = a (x-x1)(x-x2)

Si d=0, il y a une solution double : x1=-b/(2a)
Le polynome se factorise ainsi a(x-x1)^2

Si d<0, il n'y a pas de solution réelle mais deux solutions complexes
x1=(-b+i racine( |d|))/2a et x2= (-b - i racine (|d|))/2a
Le polynome se factorise selon y= a (x-x1)(x-x2)
A noter : pour une étude de fonction les racines complexes ne servent à rien, la fonction est toujours positive ou néégative.


Etude du signe des polynomes du second degré f(x) = ax^2 + bx + c

f est du signe de a à l'extérieur de ses racines
exemple : si a>0, x1>x2 racines de f, alors f est positive sur chacun des intervalles ]-infini, x2] et [x1, +infini[
remarque cette notion est tres pratique pour des études de variations de fonctions dont les dérivées contiennent des polynome du second degré
cela évite de passer par un tableau de signe.

Etude des variations des polynomes du second degré f(x) = ax^2 + bx + c


Si a>0, La courbe associée à f est une parabole tournée vers le haut (on dit qu'elle est convexe).
Le point d'abscisse -b/(2a ) est le minimum
D'apres théorème, f est strictement décroissante jusqu'à ce minimum puis strictement croissante

Si a<0, La courbe associée à f est une parabole tournée vers le bas (on dit qu'elle est concave).
Le point ayant pour abscisse -b/(2a ) est le maximum
D'apres théorème, f est strictement croissante jusqu'à ce minimum puis strictement décroissante



EXERCICES :

Quelles sont les caractéristiques de : 1) f(x)=2(x-3)(x+1)
2) g(x)= -x^2 - 5x/2 + 3/2
3) h(x)=x^2+1
4) Etudier les variations de la fonction t(x)=x/racine(5) + racine(5)/(2x) sur l'intervalle D=]0, +infini[


Correction :

1) a=2, donc la courbe associée à f est convexe. Ses racines sont -1 et 3. f admet un minimum au point d'abscisse (-1+3)/2=1.
Elle est décroissante sur ]-infini, 1[ et croissante sur ]1, + infini[
Elle est positive sur ]-infini, -1] et sur [3, infini[
Elle est négative sur [-1, 3]

2) a=-1, la courbe associée à f est concave.
d=(-5/2)^2-4*(-1)*(3/2)=25/4+12/2=25/4+24/4=49/4>0 racine d=7/2
g a deux solutions qui sont (-(5/2)+racine(d))/(2*-1)=1/2 et l'autre est -3 ...

3) a=1, le minimum est atteint pour l'abscisse 0. d=0^2-4*1*1=-4<0. pas de racine
h est positive sur R

4) t'(x)=1/racine(5) - racine(5)/(2x^2)
= (-5+2x^2)/(2x^2*racine(5))

Or 2x^2*racine(5)>0 sur D (car x^2>0 sur D, 2 et racine(5) aussi d'où le produit l'est aussi)
Etude du signe de 2x^2 -5 :
a=2, d=0-4*2*(-5)=40
Les solutions sont : x1=(0+racine(40)/4)=racine(10)/2 et x2=-racine(10)/2
t' est donc positive sur ]-infini,-racine(10)/2] et sur ]racine(10)/2,+infini[ ; négative sur [-racine(10)/2,racine(10)/2[
La fonction t est croissante sur ]racine(10)/2,+infini[ et décroissante sur ]0, racine(10)/2]
chamou1
Admin honoraire
Messages : 119
Inscription : 05 avr. 2006 18:11

Message par chamou1 »

Voici quelques théorèmes de dérivabilité, ils sont très utiles pour les concours


th : si u est dérivable sur I et v dérivable sur J avec v(J) inclu dans I
alors uov est dérivable sur I

th : les polynomes sont dérivables sur R

th : l'addition, soustraction, produit de deux fonctions dérivables sur I est dérivable sur I

th : si u est derivable sur I alors pour tout a réel a*u est dérivable sur I.

th : si u est dérivable sur I et ne s'annule pas sur I alors 1/u est dérivable sur I
Verrouillé

Revenir à « Autres épreuves de concours »