[Maths 2019] Corrigé du sujet

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Modulo
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[Maths 2019] Corrigé du sujet

Message par Modulo »

Salut tout le monde,

Je poste ici ma proposition de correction pour le sujet de mathématiques 2019. Comme toujours, il s'agit d'une correction personnelle : ce n'est pas parce que vous procédez différemment que vous avez forcément faux ! Comme d'habitude en maths, plusieurs chemins, un seul résultat.

Exercice 1 (en cours de rédaction)
Exercice 2 Du bourrinage à fond, calculs dans tous les sens.
Exercice 3 Un pur exercice de cours.
Exercice 4 Un autre pur exercice de cours, avec plus de sujet que de résolution ^^
Exercice 5 Enfin un bel exercice de réflexion, qui demande de maîtriser quelques notions en divisibilité et en dénombrement.

N'hésitez pas, si jamais vous avez des commentaires ou des interrogations par rapport à ces corrections :) Et bon courage pour l'attente
MindcraftMax
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Re: [Maths 2019] Corrigé du sujet

Message par MindcraftMax »

Salut,

J'avais aussi posté mon propre corrigé sur http://www.devenez-fonctionnaire.fr/for ... publiques/ dans le sujet « Groupe de travail CFIP 2019 - Mathématiques ». D'autres personnes l'ont (re)lu et il ne devrait à priori plus contenir d'erreur.

Je rappelle le lien ici :
Corrigé du concours externe de contrôleur des finances publiques de deuxième classe, année 2019, option Mathématiques


Pour le corrigé que tu proposes, à part quelques problèmes essentiellement typographiques, on arrive plus ou moins à la même chose pour les exercices 2, 3, 4, sauf les points de désaccord suivants :
À l'exercice 2 partie 2 question 1. b), il n'y a pas de « manière évidente », on pouvait rappeler le produit vectoriel de la question précédente qui est non nul. Au fait, savez-vous que dans les concours/examens en maths, on enlève 1 point par apparition du mot « évident » dans la copie ? :P(c'est une blague bien sûr, ne paniquez pas ! ^^)
À l'exercice 3 question 2. a) de , c'est une somme télescopique que l'on peut simplifier pour n quelconque, il est donc inutile de faire appel au principe de récurrence. D'ailleurs tu t'es autorisé à utiliser le symbole Σ, qui si il est connu du lecteur, permet de simplifier la rédaction que j'ai faite dans mon corrigé à des lignes très courtes.
À l'exercice 4 question 1. b), ce n'est pas la formule de Bayes mais simplement la définition de probabilité conditionnelle. Par contre les questions d) et e) prises ensemble consiste bien en une application de la formule de Bayes.

Néanmoins tu as fait deux erreurs pour l'exercice 5 :
Question 1. d), la somme 4+5+6+7+8+9 vaut 39 (et non 33), on peut le vérifier sans effectuer la somme en utilisant la formule de la somme d'une suite d'entiers consécutifs : (moyenne du premier et dernier termes) × nombre de termes = (4+9)/2*6 = 39. Cette erreur se répercute dans les questions qui suivent.
À la dernière question 2. b), le raisonnement n'est pas correct puisqu'il s'agit d'arithmétique et que tu introduis une notion non arithmétique de racine carrée. Personnellement, j'y suis allé un peu bourrin en utilisant le théorème fondamental de l'arithmétique (même si je n'en ai pas mentionné le nom) mais on n'en a pas besoin : il suffit d'affirmer que si 3 divise n² = a, alors par lemme d'Euclide 3 divise l'un des facteurs n, d'où 3² divise n² = a. On a donc que tout carré parfait a, i.e. par définition est un nombre tel qu'il existe un entier n pour lequel on a a = n² (et pas besoin ici d'utiliser une fonction racine carrée définie sur les réels, pour laquelle on n'a pas le droit d'utiliser les propriétés d'arithmétique), qui est divisible par 3, est alors divisible par 3² = 9 et n'est ainsi pas dans l'ensemble A.

Sinon ta rédaction du début de l'exercice 5 est intéressante, je pense qu'il faudrait réussir à mélanger nos deux rédactions pour obtenir un raisonnement clair et pas trop hors sol tout en restant valide et précis.
Je sens que la correction de et exercice va être compliquée et/ou très indulgente pour les examinateurs.
Modulo
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Re: [Maths 2019] Corrigé du sujet

Message par Modulo »

Cool, vraiment merci pour ton retour :)
MindcraftMax a écrit : 20 déc. 2018 19:36 À l'exercice 2 partie 2 question 1. b), il n'y a pas de « manière évidente », on pouvait rappeler le produit vectoriel de la question précédente qui est non nul. Au fait, savez-vous que dans les concours/examens en maths, on enlève 1 point par apparition du mot « évident » dans la copie ? :P(c'est une blague bien sûr, ne paniquez pas ! ^^)
C'est vrai que je n'ai pas pensé au produit vectoriel non nul, ça donne une seconde façon de voir ^^ Et c'est plus esthétique !
MindcraftMax a écrit : 20 déc. 2018 19:36À l'exercice 3 question 2. a) de , c'est une somme télescopique que l'on peut simplifier pour n quelconque, il est donc inutile de faire appel au principe de récurrence. D'ailleurs tu t'es autorisé à utiliser le symbole Σ, qui si il est connu du lecteur, permet de simplifier la rédaction que j'ai faite dans mon corrigé à des lignes très courtes.
Le problème a mes yeux des sommes télescopiques est l'utilisation des "..." dans les écritures de démonstrations, que tu utilises d'ailleurs dans ton propre corrigé. Ceux-ci sont souvent source d'erreurs et de confusion, et cachent en fait une récurrence qui ne dit pas son nom. Je n'apprécie donc pas du tout les utiliser. La récurrence me semble bien plus solide pour éviter toute erreur.
MindcraftMax a écrit : 20 déc. 2018 19:36À l'exercice 4 question 1. b), ce n'est pas la formule de Bayes mais simplement la définition de probabilité conditionnelle. Par contre les questions d) et e) prises ensemble consiste bien en une application de la formule de Bayes.
Tu as bien raison, modification faite !
MindcraftMax a écrit : 20 déc. 2018 19:36Néanmoins tu as fait deux erreurs pour l'exercice 5 :
Question 1. d), la somme 4+5+6+7+8+9 vaut 39 (et non 33), on peut le vérifier sans effectuer la somme en utilisant la formule de la somme d'une suite d'entiers consécutifs : (moyenne du premier et dernier termes) × nombre de termes = (4+9)/2*6 = 39. Cette erreur se répercute dans les questions qui suivent.
Honte sur moi et mes 39 prochaines générations ^^ Bon, heureusement, ça n'invalide pas le raisonnement.
MindcraftMax a écrit : 20 déc. 2018 19:36À la dernière question 2. b), le raisonnement n'est pas correct puisqu'il s'agit d'arithmétique et que tu introduis une notion non arithmétique de racine carrée.
Là je ne suis pas d'accord : à aucun moment il est nécessaire de se restreindre au champ de l'arithmétique. Ce n'est d'ailleurs pas techniquement au programme en tant que tel. Ou alors je veux bien que tu m'indiques dans quel partie de l'énoncé il est indiqué qu'on doit se cantonner à ce domaine.
MindcraftMax a écrit : 20 déc. 2018 19:36Personnellement, j'y suis allé un peu bourrin en utilisant le théorème fondamental de l'arithmétique (même si je n'en ai pas mentionné le nom) mais on n'en a pas besoin : il suffit d'affirmer que si 3 divise n² = a, alors par lemme d'Euclide 3 divise l'un des facteurs n, d'où 3² divise n² = a. On a donc que tout carré parfait a, i.e. par définition est un nombre tel qu'il existe un entier n pour lequel on a a = n² (et pas besoin ici d'utiliser une fonction racine carrée définie sur les réels, pour laquelle on n'a pas le droit d'utiliser les propriétés d'arithmétique), qui est divisible par 3, est alors divisible par 3² = 9 et n'est ainsi pas dans l'ensemble A.
Du coup, ta solution me semble à la limite du hors programme, et probablement loin du niveau général des candidats de ce concours. Mais ce n'est qu'un point de vue :)
MindcraftMax a écrit : 20 déc. 2018 19:36Sinon ta rédaction du début de l'exercice 5 est intéressante, je pense qu'il faudrait réussir à mélanger nos deux rédactions pour obtenir un raisonnement clair et pas trop hors sol tout en restant valide et précis.
Je sens que la correction de et exercice va être compliquée et/ou très indulgente pour les examinateurs.
L'année dernière déjà, ils avaient fait un exercice foireux (qui était plus de la physique). Faut croire que ça va devenir un running gag ^^
MindcraftMax
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Re: [Maths 2019] Corrigé du sujet

Message par MindcraftMax »

Dryss a écrit : 20 déc. 2018 23:41 Le problème a mes yeux des sommes télescopiques est l'utilisation des "..." dans les écritures de démonstrations, que tu utilises d'ailleurs dans ton propre corrigé. Ceux-ci sont souvent source d'erreurs et de confusion, et cachent en fait une récurrence qui ne dit pas son nom. Je n'apprécie donc pas du tout les utiliser. La récurrence me semble bien plus solide pour éviter toute erreur.
J'évite personnellement aussi à tout prix l'utilisation des « … », j'ai d'ailleurs fait la démonstration dont j'ai parlé avec Σ lorsque j'ai passé l'épreuve. Cependant, la somme Σ et le produit Π ne sont pas exigibles au concours et je ne les ai donc pas mis dans mon corrigé, et puisque les « … » étaient présents dans l'énoncé même, j'ai considéré qu'ils étaient clairement définis comme un remplacement de la somme Σ ; donc pour moi il n'y avait aucune récurrence cachée dans ce cas-là.

On pourrait toujours objecter que la somme Σ est définie par récurrence, mais j'aurais tendance à ne pas être d'accord : Σ pour k allant de 1 à 10 est parfaitement défini sans récurrence, si la notion de Σ pour k allant de 1 à n est défini par récurrence, c'est parce que n lui-même est défini par récurrence… En considérant que n est un entier qui nous est donné, on écrit la somme sans récurrence. En temps normal, j'évite pour cette raison d'écrire « pour tout n » – qui fait plutôt penser à un « pour tous les n » qui nécessiterait une récurrence – et préfère largement « quel que soit n » ou « pour un n quelconque ».

Après j'ai une philosophie des mathématiques très particulière, qui considère que l'on doit utiliser un raisonnement le moins « exigeant » (au sens où il requiert certains axiomes de maths ou de logique) possible, dans la limite du raisonnable, c-à-d tant que la démonstration reste simple et relativement courte, c'est une application mathématique du rasoir d'Ockham en quelque sorte ; ça m'amène à vouloir rejeter (plus ou moins dans cet ordre) l'axiome des grands cardinaux, l'axiome du choix, le raisonnement par l'absurde dans le cas infini, l'axiome de l'infini, le principe de récurrence, le principe du tiers exclu même dans le cas fini, et j'en ai sûrement oublié d'autres, à partir du moment où ils sont inutiles (du moins au minimum à simplifier significativement la démonstration).
Ça sort un peu du cadre du concours de contrôleur, en même temps je ne me gêne pas pour instiller cette philosophie dans le corrigé pour éviter que les gens deviennent dépendants des raisonnements en question, d'autant plus dans notre cas lorsqu'on sait que le principe de récurrence n'est que très rarement véritablement utile dans les problèmes sauf bien sûr ceux qui l'utilisent dans leur énoncé.

Dryss a écrit : 20 déc. 2018 23:41 Là je ne suis pas d'accord : à aucun moment il est nécessaire de se restreindre au champ de l'arithmétique. Ce n'est d'ailleurs pas techniquement au programme en tant que tel. Ou alors je veux bien que tu m'indiques dans quel partie de l'énoncé il est indiqué qu'on doit se cantonner à ce domaine.
Et ma philosophie des mathématiques devrait donc partiellement expliquer pourquoi ce rejet de la fonction racine carrée dans un exercice purement arithmétique. Les nombres réels (ou les extensions quadratiques si on veut être plus restrictif) sont inutiles pour résoudre l'exercice, donc j'inviterais les lecteurs du corrigé à raisonner exclusivement arithmétiquement.

Ce n'est pas pour autant que la simple introduction de la racine carrée rend le raisonnement caduc. Le problème vient du mélange de la notion de multiple et de théorèmes liés valables uniquement pour des entiers avec la notion de racine carrée.
L'erreur est le moment où tu affirmes « Donc n est nécessairement un multiple de √3, et ne peut donc être un entier. » J'imagine que tu étends la notion de multiple dans le sens suivant : le réel (strictement positif) u est multiple du réel (strictement positif) v si u ÷ v est entier (i.e. s'il existe k entier tel que u = k × v). Dans ce cas, n n'est pas un multiple de √3… À moins d'avoir a' est un carré parfait, ce qui n'est pas le cas.
Et en supposant que tu définis pour u > 0, r > 0, u est multiple de √r comme u ÷ √r est élément de ℤ[√s] une extension quadratique de ℤ avec r ne divise pas s (et là on a bien évidemment perdu l'immense majorité du public cible du concours…), on n'a toujours pas le droit d'en déduire que n n'est pas entier, même si c'est tentant.
Contre-exemple : si m est un multiple de √8, i.e. m = √8 × √b' avec b' non divisible par 8, on peut avoir m entier, par exemple en posant b' = 2. Alors on sent bien que l'on « triche » en prenant 8 car il n'est pas sans facteur carré. Effectivement, si r est premier alors u est multiple de √r au sens précédent implique que u n'est pas entier, mais ça se démontre… via le lemme d'Euclide. On revient à l'inutilité de la racine carrée dans le raisonnement, voire pire puisqu'elle embrouille plus qu'elle n'aide visiblement.
Dryss a écrit : 20 déc. 2018 23:41 Du coup, ta solution me semble à la limite du hors programme, et probablement loin du niveau général des candidats de ce concours. Mais ce n'est qu'un point de vue :)
Oups, j'avais oublié que l'arithmétique n'était pas au programme :D Comme la question faisait appel à la notion de nombre premier, c'était difficile de ne pas se lâcher.
Malgré cela, et malgré l'absolue non trivialité de la factorisation en facteurs premiers, je pense qu'elle doit être connue (plus que le lemme d'Euclide paradoxalement) au moins intuitivement, de toute manière ça restait la dernière question de l'épreuve, et penser à la divisibilité par 3 mais pas par 9 n'était déjà pas évident…

Ne pas avoir de réponse conforme au programme reste non satisfaisant, fort heureusement il existe une démonstration « technique », sans lemme d'Euclide, qui est à la portée de tous : on regarde les entiers modulo 3 au carré, et on remarque que seul ceux qui sont divisibles par 3 au départ (avant passage au carré) le sont à l'arrivée, or ces derniers sont divisible par 9, CQFD.
J'ai modifié mon corrigé en conséquence pour rajouter cette nouvelle démonstration (version beginner-friendly i.e. sans les modulo), en laissant la précédente pour ceux qui connaissent le théorème fondamental de l'arithmétique.


P.S. : Comme d'habitude j'écris un pavé, désolé j'ai du mal à faire concis ^^
Galois1811
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Re: [Maths 2019] Corrigé du sujet

Message par Galois1811 »

En effet, tu écris un pavé mais sans être le Fidor Dostoievski des maths ... Parfois, la concision a du bon sans quoi on s'enlise - à son piètre insu - dans une lourdeur évidente et on aboutit - pour qui est à même de le lire - aux antipodes des intentions de base de la la démarche ...
Joyeux Noël.
MindcraftMax
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Re: [Maths 2019] Corrigé du sujet

Message par MindcraftMax »

@Galois1811
Pour expliquer ma démarche, je pense déjà avoir particulièrement concis et clair dans mon premier message qui était destiné à Dryss comme à tout lecteur potentiel en recherche de corrigé. Dans mon second message cependant, je ne me suis adressé qu'à Dryss, et une personne lambda en recherche de corrigé ne comprendra pas tout ce que j'ai dit mais ce n'en était de toute façon pas le but.

D'autant plus que si son corrigé de l'exercice 5 question 2. b) comporte une erreur, le raisonnement par récurrence lui n'en est pas une. Et même si l'erreur pouvait sembler simple à expliquer, je voulais insister sur le fait que le problème était plus profond à cause du mélange que je considère non valide entre arithmétique et analyse, ce qui demande un minimum de justification car beaucoup de gens en maths (et donc à fortiori pour un « simple » concours de la fonction publique, qui n'a « même pas » vocation à faire des mathématiques de recherche) considèrent que « les fondements des mathématiques, on s'en fout » :( , ou « les maths, c'est (basé sur) ZFC » :x .

Si je devais caricaturer, mon deuxième message est en fait relativement facile à résumer (cette fois-ci compréhensible pour tout lecteur) : :mrgreen:
– Ne jamais utiliser « … » sauf quand il a été clairement défini (ex : somme finie), n'utiliser le raisonnement par récurrence dans un examen « facile » que pour des suites définies par récurrence.
– Ne pas utiliser la racine carrée en arithmétique, elle cache l'utilisation de théorèmes importants d'arithmétique (lemme de Gauss, etc.), voire rend faux les raisonnements si on ne fait pas attention au domaine de validité de ces théorèmes (restreint pour ceux-ci aux entiers).


Joyeux Noël à tous également !
Modulo
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Re: [Maths 2019] Corrigé du sujet

Message par Modulo »

@MindcraftMax

J'avais trouvé ton premier message posté dans cette conversation très utile, et je te remercie encore grandement de m'avoir apporté quelques éclairages sur les étourderies (et faute terriblement honteuse du 33/39 ^^) que j'avais pu glisser dans mon corrigé.

Par contre, dans ton deuxième message, tu me pardonneras j'espère de donner franchement mon ressenti, ressemble à quelqu'un qui pérore en invoquant des grands principes pour tenter de perdre l'auditoire, et laisser tout le monde KO au lieu de convaincre simplement. Et je vois que ce ressenti personnel est partagé au moins par une personne.

Je vais quand même répondre sur quelques points.

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MindcraftMax a écrit : 22 déc. 2018 18:34 Après j'ai une philosophie des mathématiques très particulière, qui considère que l'on doit utiliser un raisonnement le moins « exigeant » (au sens où il requiert certains axiomes de maths ou de logique) possible, dans la limite du raisonnable, c-à-d tant que la démonstration reste simple et relativement courte [...]

P.S. : Comme d'habitude j'écris un pavé, désolé j'ai du mal à faire concis ^^
Pour ma part, ma philosophie des mathématiques repose aussi sur ce point de simplicité, mais sans jamais sacrifier la rigueur. Et comme, à la fois en tant qu'élève, candidat et enseignant, j'ai vu que les "..." étaient bien trop souvent mal utilisés, je les ai bannis de mes démonstrations. Maintenant, je t'accorde que l'énoncé y faisait aussi référence, donc il était certainement admis dans la correction de les utiliser.

Pour conclure, il n'y a donc aucune "supériorité" d'une de nos deux démonstrations sur l'autre (et à titre personnel, je ne cherche en rien à tenter de les comparer), les deux sont valables. C'est même heureux pour les futurs candidats de voir ces deux approches :)

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MindcraftMax a écrit : 22 déc. 2018 18:34
Dryss a écrit : 20 déc. 2018 23:41 Là je ne suis pas d'accord : à aucun moment il est nécessaire de se restreindre au champ de l'arithmétique. Ce n'est d'ailleurs pas techniquement au programme en tant que tel. Ou alors je veux bien que tu m'indiques dans quel partie de l'énoncé il est indiqué qu'on doit se cantonner à ce domaine.
Et ma philosophie des mathématiques devrait donc partiellement expliquer pourquoi ce rejet de la fonction racine carrée dans un exercice purement arithmétique.
Ce qui ne répond pas à ma remarque : en quoi était-ce "un exercice purement arithmétique" ? Je le redis, comme c'est du hors programme, je ne vois pas en quoi il faudrait se borner à n'utiliser que les méthodes arithmétiques.

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MindcraftMax a écrit : 22 déc. 2018 18:34 L'erreur est le moment où tu affirmes « Donc n est nécessairement un multiple de √3, et ne peut donc être un entier. » J'imagine que tu étends la notion de multiple dans le sens suivant : le réel (strictement positif) u est multiple du réel (strictement positif) v si u ÷ v est entier (i.e. s'il existe k entier tel que u = k × v).
Toute notre dernière incompréhension vient de là. Je n'ai pas voulu utiliser le mot "multiple" dans le sens mathématique que tu lui donnes (et pour lequel tu as bien raison !). C'était clairement un abus de langage (et de fatigue de LaTeX ^^) de ma part. Pour ma part, je voulais dire que "a est donc le produit de √3 et d'un réel qui n'est pas lui-même le produit de √3 par un réel quelconque". Par une démonstration du même type que pour démontrer l'irrationalité de √2 *, on démontre que a ne peut être entier. Il est vrai que, pour rester dans mon propre schéma de rigueur évoqué au premier point de ce message, il m'aurait fallu écrire dans le corrigé cette démonstration. Mais elle reste au delà du niveau demandé je pense. Peut-on donc l'admettre ? (au sens "que peut-on admettre au concours de cat B", et non "que peut-on admettre en mathématiques ?")

J'estime donc qu'il ne s'agit pas d'une erreur de démonstration comme tu l'affirmes plusieurs fois, mais tout au plus un écart de vision entre "pure arithmétique" et "multiplicité des domaines". Sauf à démontrer clairement la faille dans le raisonnement...

Ce qui m'amène donc à un problème sérieux que je trouve dans ton cheminement : quand on utilise un contre-exemple, on essaie de s'approcher au plus proche de l'énoncé que l'on souhaiter infirmer. Utiliser √8 comme contre-exemple en sous-entendant que c'est équivalent à √3 est un peu léger. 3 étant premier, 8 comportant un carré dans sa décomposition... bon, on a eu mieux comme similitude ^^. D'autant plus que la contradiction de ta démonstration repose exactement sur ce problème de décomposition, et non sur le point que j’admets, certes trop rapidement, dans ma correction. En gros, tu construis un énoncé de démonstration trop large (qui englobe mon cas), et démontre que cet énoncé large est faux. C'est un peu fallacieux quand même ^^ Est-ce que cette démonstration tiendrait en imposant s comme un nombre premier, et non quelconque ?

Mais au moins, tu as l'honnêteté de reconnaître cette cheville dans la suite de ton palabre.

*EDIT : d'ailleurs, en reprenant mon corrigé sur la question 5b, j'utilise finalement ce mécanisme moins casse gueule ^^ et qui ne passe effectivement que par des principes arithmétiques.

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Bref, de nouveau, je te remercie pour la pertinence des remarques que tu as pues faire et qui ont aidé à améliorer ma proposition de correction. Je te remercie aussi pour les quelques débats qui ont pu être soulevés sereinement. Mais je te propose que nous restions simples pour une éventuelle suite, sans chercher à construire des querelles de chapelles qui n'ont pas lieu d'être :)
MindcraftMax
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Re: [Maths 2019] Corrigé du sujet

Message par MindcraftMax »

Dès que je pars dans des explications quel que soit le sujet, j'essaie systématiquement d'anticiper toutes les objections possibles et imaginables et comme j'ai un bien meilleur esprit d'analyse que de synthèse, ça aboutit toujours à des pavés indigestes ^^
Anyway…

Dryss a écrit : 26 déc. 2018 12:32à la fois en tant qu'élève, candidat et enseignant, j'ai vu que les "..." étaient bien trop souvent mal utilisés
Après, si la démonstration avec « … » augmente la confusion et le taux d'erreur des lecteurs du corrigé, et comme je veux éviter de mettre Σ pour ceux qui ne connaitraient pas, alors bien entendu qu'il vaut mieux ta démonstration à la mienne. Mais je pense qu'ici le « … » restait encore relativement inoffensif.
À mon avis, le vrai souci de compréhension/confusion (et de rigueur !), c'est lorsqu'il est placé à la fin d'une liste plutôt qu'entre deux symboles pour signifier une itération.
C'est-à-dire que a_1 + a_2 + … + a_n est okay, mais a_1 + a_2 + … (arg !) pour une limite de somme ou 0,333… ou tout raisonnement par récurrence résumé par … sont plus que douteux ; et ne parlons même pas des atroces 0,1212… (?!) ou 0,1234… ou 3,14… ou l'ensemble {3, 5, 7, …} des nombres premiers impairs (!!).

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Quand je parlais d'exercice purement arithmétique, j'entendais en fait que l'énoncé ne faisait appel qu'aux nombres entiers, sans aucune notion de géométrie, d’analyse, de proba, etc.
Bien sûr l'exercice en lui-même pouvait être résolu par le candidat comme il le voulait (dans la limite plus ou moins du programme), cependant je pense qu'un corrigé doit être plus exigeant en allant – entre autres – au plus simple quand c'est possible. Hors, selon mes croyances, l'existence de √3 est « moins simple » que celle des entiers… Je sais bien que ces croyances sont très loin d'être partagées par tout le monde, mais bon :lol:
Dryss a écrit : 26 déc. 2018 12:32
MindcraftMax a écrit : 22 déc. 2018 18:34 L'erreur est le moment où tu affirmes « Donc n est nécessairement un multiple de √3, et ne peut donc être un entier. » J'imagine que tu étends la notion de multiple dans le sens suivant : le réel (strictement positif) u est multiple du réel (strictement positif) v si u ÷ v est entier (i.e. s'il existe k entier tel que u = k × v).
Toute notre dernière incompréhension vient de là. Je n'ai pas voulu utiliser le mot "multiple" dans le sens mathématique que tu lui donnes (et pour lequel tu as bien raison !). C'était clairement un abus de langage (et de fatigue de LaTeX ^^) de ma part. Pour ma part, je voulais dire que "a est donc le produit de √3 et d'un réel qui n'est pas lui-même le produit de √3 par un réel quelconque".
J'avais bien compris ça, c'est ce qui a donné ma deuxième définition un petit peu alambiquée ; car il faut remplacer « un réel quelconque » à la fin de ta phrase par « un entier quelconque » (sinon ça n'a pas de sens), et ça revient à peu de chose près – en tout cas pour notre démonstration – à ce que le réel en question soit dans ℤ[√s] avec s entier non divisible par 3. *

J'abuse ensuite du fait que tu n'aies pas dit/utilisé que 3 est premier, en même temps ta démonstration faisait penser que tu n'utilisais pas plus que l'irrationalité de √3 ce qui n'est pas suffisant, et c'est ce que je voulais montrer avec mon contre-exemple √8.

*Bon, en réalité j'ai triché en ne remplaçant pas « un réel quelconque » par « un rationnel quelconque », auquel cas la propriété devient vraie quel que soit s (et ta démonstration n'est donc pas fausse).
Si on regarde pourquoi c'est le cas, on s'aperçoit qu'on est en fait ramené automatiquement au cas où s est premier, ce qui ne change donc rien à ce que je voulais montrer, c-à-d qu'il est important que le fait que 3 soit premier apparaisse au moins implicitement dans la démonstration (la tienne était donc incomplète). Je m'en étais aperçu en écrivant mon précédent message, mais comme il était déjà suffisamment compliqué comme ça…

Dryss a écrit : 26 déc. 2018 12:32Mais elle reste au delà du niveau demandé je pense. Peut-on donc l'admettre ? (au sens "que peut-on admettre au concours de cat B", et non "que peut-on admettre en mathématiques ?")
On revient donc effectivement à devoir faire la démonstration pour montrer où intervient la primalité dans l'affaire, et je suis d'accord qu'on est bloqué puisque hors programme, en considérant que le lemme d'Euclide ou le théorème fondamental de l'arithmétique ne sont pas exigibles (c'est du Terminale S spé maths).

Ce ne sera pas la première fois qu'une question est hors programme (certaines années c'était pire avec des erreurs dans le sujet…), on en parlait justement sur l'autre forum avec l'exemple de l'exercice de physique de l'année dernière.
Dans tous les cas, toi comme moi avons introduit une nouvelle version de démonstration qui est compréhensible par tout candidat sans notion hors programme via la disjonction des cas (mod 3), tout en sachant que quelqu'un qui n'a fait / ne se souvient que de l'arithmétique de collège aura de toute façon très peu de chance d'avoir su répondre à cette question même de cette manière.
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