Dryss a écrit : ↑20 déc. 2018 23:41
Le problème a mes yeux des sommes télescopiques est l'utilisation des "..." dans les écritures de démonstrations, que tu utilises d'ailleurs dans ton propre corrigé. Ceux-ci sont souvent source d'erreurs et de confusion, et cachent en fait une récurrence qui ne dit pas son nom. Je n'apprécie donc pas du tout les utiliser. La récurrence me semble bien plus solide pour éviter toute erreur.
J'évite personnellement aussi à tout prix l'utilisation des « … », j'ai d'ailleurs fait la démonstration dont j'ai parlé avec Σ lorsque j'ai passé l'épreuve. Cependant, la somme Σ et le produit Π ne sont pas exigibles au concours et je ne les ai donc pas mis dans mon corrigé, et puisque les « … » étaient présents dans l'énoncé même, j'ai considéré qu'ils étaient clairement définis comme un remplacement de la somme Σ ; donc pour moi il n'y avait aucune récurrence cachée dans ce cas-là.
On pourrait toujours objecter que la somme Σ est définie par récurrence, mais j'aurais tendance à ne pas être d'accord : Σ pour
k allant de 1 à 10 est parfaitement défini sans récurrence, si la notion de Σ pour
k allant de 1 à
n est défini par récurrence, c'est parce que
n lui-même est défini par récurrence… En considérant que
n est un entier qui nous est donné, on écrit la somme sans récurrence. En temps normal, j'évite pour cette raison d'écrire « pour tout
n » – qui fait plutôt penser à un « pour tous les n » qui nécessiterait une récurrence – et préfère largement « quel que soit
n » ou « pour un
n quelconque ».
Après j'ai une philosophie des mathématiques très particulière, qui considère que l'on doit utiliser un raisonnement le moins « exigeant » (au sens où il requiert certains axiomes de maths ou de logique) possible, dans la limite du raisonnable, c-à-d tant que la démonstration reste simple et relativement courte, c'est une application mathématique du rasoir d'Ockham en quelque sorte ; ça m'amène à vouloir rejeter (plus ou moins dans cet ordre) l'axiome des grands cardinaux, l'axiome du choix, le raisonnement par l'absurde dans le cas infini, l'axiome de l'infini, le principe de récurrence, le principe du tiers exclu même dans le cas fini, et j'en ai sûrement oublié d'autres, à partir du moment où ils sont inutiles (du moins au minimum à simplifier significativement la démonstration).
Ça sort un peu du cadre du concours de contrôleur, en même temps je ne me gêne pas pour instiller cette philosophie dans le corrigé pour éviter que les gens deviennent dépendants des raisonnements en question, d'autant plus dans notre cas lorsqu'on sait que le principe de récurrence n'est que très rarement véritablement utile dans les problèmes sauf bien sûr ceux qui l'utilisent dans leur énoncé.
Dryss a écrit : ↑20 déc. 2018 23:41
Là je ne suis pas d'accord : à aucun moment il est nécessaire de se restreindre au champ de l'arithmétique. Ce n'est d'ailleurs pas techniquement au programme en tant que tel. Ou alors je veux bien que tu m'indiques dans quel partie de l'énoncé il est indiqué qu'on doit se cantonner à ce domaine.
Et ma philosophie des mathématiques devrait donc partiellement expliquer pourquoi ce rejet de la fonction racine carrée dans un exercice purement arithmétique. Les nombres réels (ou les extensions quadratiques si on veut être plus restrictif) sont inutiles pour résoudre l'exercice, donc j'inviterais les lecteurs du corrigé à raisonner exclusivement arithmétiquement.
Ce n'est pas pour autant que la simple introduction de la racine carrée rend le raisonnement caduc. Le problème vient du mélange de la notion de multiple et de théorèmes liés valables uniquement pour des entiers avec la notion de racine carrée.
L'erreur est le moment où tu affirmes « Donc
n est nécessairement un multiple de √3, et ne peut donc être un entier. » J'imagine que tu étends la notion de multiple dans le sens suivant : le réel (strictement positif)
u est multiple du réel (strictement positif)
v si
u ÷
v est entier (i.e. s'il existe
k entier tel que
u =
k ×
v). Dans ce cas,
n n'est pas un multiple de √3… À moins d'avoir
a' est un carré parfait, ce qui n'est pas le cas.
Et en supposant que tu définis pour
u > 0,
r > 0,
u est multiple de
√r comme
u ÷
√r est élément de ℤ[√s] une extension quadratique de ℤ avec
r ne divise pas
s (et là on a bien évidemment perdu l'immense majorité du public cible du concours…), on n'a toujours pas le droit d'en déduire que
n n'est pas entier, même si c'est tentant.
Contre-exemple : si
m est un multiple de √8, i.e.
m = √8 × √
b' avec
b' non divisible par 8, on peut avoir
m entier, par exemple en posant
b' = 2. Alors on sent bien que l'on « triche » en prenant 8 car il n'est pas sans facteur carré. Effectivement,
si r est premier alors
u est multiple de
√r au sens précédent implique que
u n'est pas entier, mais ça se démontre… via le lemme d'Euclide. On revient à l'inutilité de la racine carrée dans le raisonnement, voire pire puisqu'elle embrouille plus qu'elle n'aide visiblement.
Dryss a écrit : ↑20 déc. 2018 23:41
Du coup, ta solution me semble à la limite du hors programme, et probablement loin du niveau général des candidats de ce concours. Mais ce n'est qu'un point de vue
Oups, j'avais oublié que l'arithmétique n'était pas au programme
![Very Happy :D](./images/smilies/icon_biggrin.gif)
Comme la question faisait appel à la notion de nombre premier, c'était difficile de ne pas se lâcher.
Malgré cela, et malgré l'absolue non trivialité de la factorisation en facteurs premiers, je pense qu'elle doit être connue (plus que le lemme d'Euclide paradoxalement) au moins intuitivement, de toute manière ça restait la dernière question de l'épreuve, et penser à la divisibilité par 3 mais pas par 9 n'était déjà pas évident…
Ne pas avoir de réponse conforme au programme reste non satisfaisant, fort heureusement il existe une démonstration « technique », sans lemme d'Euclide, qui est à la portée de tous : on regarde les entiers modulo 3 au carré, et on remarque que seul ceux qui sont divisibles par 3 au départ (avant passage au carré) le sont à l'arrivée, or ces derniers sont divisible par 9, CQFD.
J'ai modifié mon corrigé en conséquence pour rajouter cette nouvelle démonstration (version beginner-friendly i.e. sans les modulo), en laissant la précédente pour ceux qui connaissent le théorème fondamental de l'arithmétique.
P.S. : Comme d'habitude j'écris un pavé, désolé j'ai du mal à faire concis ^^